Közelítő módszer a Nap horizontális parallaxisának meghatározásához

Bevezetés

   Ebben a leírásban egy egyszerűsített számítási módszert mutatunk a Nap közepes horizontális parallaxisának, π₀-nak a meghatározásához. Ebből az értékből a Föld sugarát ismerve közvetlenül adódik a Nap-Föld távolság. Az egyszerűsítések természetes módon a pontosságot csökkentik, de a lényeget a módszer jól tükrözi.

A módszer

   Feltesszük, hogy két megfigyelőnk van a Föld két különböző helyén, amelyek egymástól elegendően messze vannak. A két megfigyelő ugyanabban az időpontban feljegyzi az átvonulás során a Vénusz látszólagos helyzetét a napkorongon. Ezen két megfigyelés alapján a Nap látszó méretéhez képest megadhatjuk a két pont távolságát a napkorongon, ebből (és néhány egyéb ismert, vagy számolható adatból) meghatározhatjuk a keresett parallaxist (π₀).

1. ábra

   Az 1. ábrán a megfigyelés geometriáját láthajuk. A jelölések a következők:

• M₁: az 1-es megfigyelő helye a Földön
• M₂: a 2-es megfigyelő helye a Földön
• O: a Föld középpontja
• C: a Nap középpontja
• V: a Vénusz középpontja
• V₁: a Vénusz középpontja a napkorongon, ahogy azt az M₁ pont beli megfigyelő látja
• V₂: a Vénusz középpontja a napkorongon, ahogy azt az M₂ pont beli megfigyelő látja.
• D₁: a CM₁V szög, azaz a napkorong középpontja és a Vénusz középpontja közötti szögtávolság, ahogy azt az M₁ pont beli megfigyelő látja
• D₂: a CM₂V szög, azaz a napkorong középpontja és a Vénusz középpontja közötti szögtávolság, ahogy azt az M₂ pont beli megfigyelő látja
• π_N: az M₁CM₂ szög, azaz az a szög, amely alatt az M₁M₂ szakasz a napkorong középponjából látszik (a Nap parallaxisa M₁M₂-re nézve)
• π_V: az M₁VM₂ szög, azaz az a szög, amely alatt az M₁M₂ szakasz a Vénusz középponjából látszik (a Vénusz parallaxisa M₁M₂-re nézve)

Fontos, hogy az ábrából nem szabad rögtön levonni geometriai összefüggéseket, mert M₁, M₂, V és C általában nem esik egy síkba, és így az M₁C és az M₂V egyenesek nem metszik egymást, kitérő egyenesek! Például az alábbi 1.b ábrán jól látszik, hogy a D₂-D₁=Δπ egyenlőség csak speciális esetben igaz.

1.b ábra

2.ábra

   A 2. ábrából látható, hogy V₁V₂=π_V- π_N. (A Nap nagy távolsága miatt a napkorong bármely pontjából az M₁M₂ szakasz ugyanolyan szög alatt látszik, ezért V₁M₁V₂ szög megegyezik π_N-nel. Az M₁VV₂ háromszögnek π_V szög külső szöge, ebből már következik az előbbi összefüggés.) A V₁M₁V₂ szöget Δπ-vel jelöljük.

3.ábra

Mivel sem π_V sem π_N nem ismert közvetlenül, ezeket ki kell fejezni egymással. A 3. ábrából:

1. képlet

és

2. képlet

Ha pontosabbak akarunk lenni, akkor a vektorok skalárszorzatának kifejezéséből:

3. képlet

és

4. képlet

A két kifejezésből D-t kiküszöbölve kapjuk, hogy:

5. képlet

Eszerint:

6. képlet

vagyis átrendezve:

7. képlet

Ebből az összefüggésből viszont r_F/r_V nem ismert. Szerencsénkre ezt a Kepler-törvények alapján könnyen megadhatjuk. A III. Kepler törvény szerint

8. képlet

(T a bolygó keringési ideje, a pedig a pálya félnagytengelye), amit ha két bolygóra, esetünkben a Vénuszra és a Földre felírunk és kicsit átrendezünk, akkor a következő kifejezést kapjuk:

9. képlet

Közelítésként vehetnénk a_F=r_F-et és a_V=r_V-t. Mivel azonban sem a Föld, sem pedig a Vénusz pályája nem kör, hanem ellipszis, használjuk az I. Kepler-törvényt:

10. képlet

Itt e a pálya excentricitása, azaz megmutatja, hogy a pálya mennyire tér el a körtől (e=0 esetén értelemszerűen a=r) ; E pedig megadja, hogy a keringő bolygó a pályája mentén éppen hol tartózkodik. Ezek szerint a pontos kifejezés:

11. képlet

Ezt a kifejezést bármely t időpontra ki lehet számolni.

Kitűzött célunk viszont π₀ meghatározása volt, ami definíció szerint az a szög, amely alatt a Föld egyenlítői sugara látszik a Nap középpontjából, ha Nap éppen 1 csillagászati egységre van a Földtől:

12. képlet

közelítőleg

13. képlet

Tekintsük a következő azonos átalakításokat:

14. képlet

Itt R_F a Föld sugara. a_F/r_F 10)-ből kiszámítható, D kiszámításához pedig nézzük meg a 4. ábrát!

4.ábra

Az ábrából:

15. képlet

A skalárszorzat kiszámítása szerint:

16. képlet

majd

17. képlet

amit visszahelyettesítve 16)-ba, D-t megkapjuk. A kiszámításhoz szükség van a vektorok derékszögű koordinátáira, azaz M₁, M₂ és C pontok koordinátáira. A koordinátarenszer, amit használunk, a következőképpen néz ki. Az origó (O) legyen a Föld középpontja, az Oxy sík a Föld egyenlítői síkja, a z tengely mutasson az északi pólus (a Föld forgástengelyének iránya) felé, az x tengely pedig egy szintén rögzített pont, a tavaszpont felé (az egyenlítő és az ekliptika egyik metszéspontja). Az így megadott renszert geocentrikus ekvatoriális koordinátarenszernek hívjuk. Ebben a rendszerben megadhatjuk egy pont koordinátáit derékszögű- (x, y, z) vagy polárkoordinátákkal (r, &alpha, &delta). &alpha neve rektaszcenzió, &delta neve pedig deklináció. A kétféle koordináták közötti átszámító képletek:

18. képlet

19. képlet

20. képlet

A fordított összefüggések pedig:

21. képlet

22. képlet

23. képlet

Az egyenlítői koordinátarendszer

A Kepler-törvények alapján a Nap deklinációja (&delta_N) és rektaszcenziója (&alpha_N)megadhatók (évkönyvekből kinézhetők). A Nap távolsága a Földtől (r) nem ismert (pont ezt keressük), de nem is szükséges, mivel az OC vektor hossza a 16)-os képletben egységnyinek is vehető.

Az M₁ és M₂ pontok koordinátáinak meghatározása egy kicsit komplikáltabb. A Föld felszínén egy pont helyét a földrajzi szélességgel (ϕ) és hosszúsággal (&lambda) adjuk meg. A szélesség az egyenlítőtől való szögtávolság, ezért megegyezik a deklinációval (&delta). A hosszúság pedig egy kezdő meridiántól, a Greenwichen áthaladó 0^o hosszúsági körtől való szögtávolság. Hasonló tehát a rektaszcenzióhoz, de máshonnan mérjük. Hogy a két rendszer között át tudjunk számolni, meg kell mondanunk, hogy mi a kapcsolat az Ox tengely és a greenwichi 0^o kör között. Az Ox tengely az állócsillagokhoz képest egy helyben marad, míg a 0^o kör a Föld forgása miatt folyamatosan változtatja a helyét. A 0^o kör és az Ox tengely által bezárt szög a greenwichi csillagidő (s_G); ez 23^h56^m4^s alatt változik meg 360^o-kal (ez az idő a Föld állócsillagokhoz képesti, ún. sziderikus keringési ideje). Szükséges tehát, hogy ismerjük a greenwichi csillagidőt az átvonulás napján 0^hUTC-kor, ebből bármely t időpontra megkaphatjuk a greenwichi csillagidőt:

24. képlet

Ha most ebből a &lambda hosszúsági körön levő csillagidőt (azaz a &lambda hosszúsági kör szögtávolságát az Ox tengelytől) akarjuk megkapni, akkor:

25. képlet

Itt &lambda -t kelet felé mérjük, és ügyelni kell, hogy s és &lambda ugyanabban a mértékegységben legyen (24^h=360^o)!

Legyenek ϕ₁ és &lambda₁ egy adott t időpontban az M₁ megfigyelő földrajzi koordinátái. Ekkor:

26. képlet

27. képlet

28. képlet

M₂-re hasonló összefüggések érvényesek, csak az indexeket kell kicserélni. Ezekből az M₁M₂ vektor koordinátái és hossza:

29. képlet

30. képlet

31. képlet

32. képlet

33. képlet

A Nap centrumába mutató egységvektor (c = OC/r_F) derékszögű koordinátái:

34. képlet

35. képlet

%35

36. képlet

A c és M₁M₂ vektorok skalárszorzata:

37. képlet

és a két vektor hosszainak szorzata:

38. képlet

Tehát 16) alapján:

39. képlet

Az alábbiakban öszzefoglalva megadjuk, hogy miből indulunk ki, és milyen lépések útján jutunk el a Nap horizontális parallaxisához. Az alábbi adatokat ismerjük:
A két megfigyelési hely földrajzi koordinátái: ϕ₁, &lambda₁, ϕ₂, &lambda₂.
A megfigyelés időpontja, és az arra vonatkozó efemeriszek (a napkorong középpontjának koordinátái, a Föld és a Vénusz pályamenti helyzete): t, &alpha_N, &delta_N, E_F, E_V.
A greenwichi csillagidő 0^h UTC-kor: s_G,0^h.
Ismerjük még a Föld sugarát, a földpálya és a Vénusz pályájának lapultságát is, és a két bolygó keringési idejét: R_F, e_F, e_V, T_F, T_V
A megfigyelésből: &Delta&pi a Nap szögátmérőjét tekintve 1-nek.

A megoldás menete:

1. lépés: s_&lambda1, s_&lambda2 meghatározása 24) és 25) alapján
2. lépés: M₁M₂ vektor derékszögű koordinátáinak (X, Y, Z) meghatározása 26), 27), 28) (ugyanez M₂-re is), majd 29), 30), 31) segítségével
3. lépés: a c vektor derékszögű koordinátái (x, y, z) 34), 35), 36) alapján
4. lépés: a D távolság kiszámítása: 39), 17), majd 33), végül 15)
5. lépés: r_F/r_V, és r_F/a_F meghatározása 11) illetve 10) alapjá
6. lépés: &pi_N kiszámítása: 7)
7. lépés: &pi₀ kiszámítása 14) átrendezésével:

40. képlet